¿Cómo usar derivadas para resolver ejercicios de optimización?

Los ejercicios de optimización mediante la utilización de derivadas de primer y segundo grado, es de los ejercicios más comunes que se encuentran durante el estudio de Cálculo Diferencial. Este tipo de ejercicios presenta una barrera de entrada para el estudiante porque, además de los tradicionales mecanismos de resolución de derivadas, se necesita un planteamiento inicial en el que se exponga un modelo para describir la situación presentada. Es aquí donde se pone a prueba la capacidad de análisis y comprensión, por eso hoy te traemos un ejercicio para enseñarte mecanismos de planteamiento, desarrollo y conclusiones. 

Se desea construir un recipiente para enlatar alimentos no perecederos, el cual cuente con una capacidad de 250ml, se pretende que el recipiente sea de forma cilíndrica. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del recipiente para la utilización mínima del material empleado?

Solución:  

Para la resolución de este tipo de ejercicios, se comienza analizando la situación planteada y el requerimiento deseado. Por lo tanto, se plantea el paso 1, el cual será: analizar el problema. 

Analizar el problema: en esta fase se debe hacer una lista con los datos y condiciones conocidas. 

  • El volumen del recipiente debe ser 250ml. 
  • El recipiente debe ser de forma cilíndrica. 
  • El proceso requiere que se minimice el material utilizado. 

Después de proceder con el listado de las condiciones del ejercicio, se continúa con el planteamiento de las fórmulas conocidas para el caso en particular: 

Planteamiento Matemático: a continuación, hacemos uso de las fórmulas matemáticas para el caso en cuestión. 

V= 250 ml

V=πr 2h  Se hace uso del volumen, puesto que es la condición inicial del ejercicio. 

Atot=ALat+2Atapas Se hace uso del área, puesto que es lo que se debe minimizar.   Donde  Atot  hace referencia al área total,   Alat  hace referencia al área lateral y  Atapas  hace referencia al área de las tapas. 

Atot=2πrh+2πr2 Se puede dejar h en función del radio utilizando la condición del volumen.Este procedimiento es necesario para lograr dejar la función del área total en términos de una sola variable (r)De la siguiente manera:  250=πr2h h=250πr2 Ahora se puede reemplazar dicha condición en la fórmula del área total. 

Queda de la siguiente manera:

Atot=2πr250πr2+2πr2  Ahora se procede a simplificar dicha función.    Atot=500r+2πr2  Luego de haber simplificado, se procede a hacer uso de la primera derivada.  Esto es posible debido a que toda la función es dependiente solo del radio del recipiente.   Atot=500r-1+2πr2  Se reorganiza la función.    A'=-500r-2+4πr Se aplica la respectiva derivada a cada una de las r.   A'=-500r2+4πr Se reescribe la función, logrando así el resultado de la derivada de primer orden. 

Ahora que se encontró la derivada de primer orden, se pasa al siguiente escenario el cual consiste en igualar dicha función a 0 y encontrar los valores críticos de la variable.

0=-500r2+4πr   Igualamos a cero. 500r2=4πr   Despejamos la situación.  500=4πr(r2)  500=4πr3 r3=5004π r=5004π3 r=3,4139 ml  Se resuelve la operación anterior, conociendo así el valor crítico.   h=250π(3,4139 ml) Como ya se conoce el valor crítico de r, se procede a encontrar el valor crítico de h. h=6,8279 ml 

Ya que se encontraron las medidas necesarias para lograr optimizar el problema, falta determinar si los valores críticos encontrados nos arrojan situaciones mínimas o máximas, dicho proceso se logra obteniendo la segunda derivada.

A'=-500r-2+4πr A''=-500-2r-3+4π   A''=1000r-3+4π   A''=1000r3+4π   A''=10003,41393+4π   A''=37,69 

Como la segunda derivada nos arroja un valor positivo, indica que el valor crítico encontrado pertenece a un valor mínimo de la función. Por tanto, se ha encontrado una solución óptima para la situación planteada.

PLANES Y PRECIOS

 

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1 comentario en “¿Cómo usar derivadas para resolver ejercicios de optimización?

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