Derivación implícita: ejercicio 1

La mayor parte de las funciones en el estudio del cálculo se presentan con una variable explícitamente en términos de otra variable, como por ejemplo:

y=x3+2x2-10   o  y=sen(2x+5)

Sin embargo, existen funciones que expresan algún tipo de relación entre las variables, como por ejemplo:

x2+y2=10  o  x3+y3=6xy

En los ejemplos anteriores se podría pensar en expresar una variable explícitamente en términos de otra variable, para el caso número 1 no habría ningún problema, quedaría de la siguiente manera:

y=±10-x2

Sin embargo, para el caso número 2 no es tan sencillo el proceso, es por eso que al momento de derivar existe un método conocido como derivación implícita que facilita el proceso, veamos un ejemplo:

Derivar

x3-y3=6xy

Para empezar se derivan ambos lados de la expresión respecto a X, considerando a Y como función de X.

3x2-3y2 dydx=6x dydx+6y

Se procede a realizar una simplificación de la expresión.

3x2-y2 dydx=6x dydx+y x2-y2 dydx=2x dydx+y

Ahora se procede a organizar la expresión, dejando de un lado del igual todos los términos dy/dx.

x2-2y=2x dydx+y2 dydx

Simplificamos resolviendo el factor común de la ecuación.

x2-2y=2x +y2 dydx

Para terminar el ejercicio se despeja en términos del factor dy/dx.

dydx=x2-2y2x +y2

Y así se da por terminado un ejercicio de derivación implícita.

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