Derivación implícita: ejercicio 2

La derivación implícita es un método que permite la resolución de funciones cuando no se encuentra una variable explicita en función de otra, te invitamos a ver el ejercicio 1 de este tema para mayor claridad.

Para seguir reforzando el tema, veamos otro ejemplo:

Derivar

$sen(x+y)=y^2\cos \left(x\right)$

A partir de lo visto en el ejercicio 1, se sabe que para empezar se derivan ambos lados de la expresión respecto a X, considerando a Y como función de X.

$\left(1+\frac{dy}{dx}\right)\cos (x+y)=y^2\left[-sen \left(x\right)\right]+2y \cos \left(x\right) \frac{dy}{dx}$ $\cos (x+y)+\cos (x+y)\left(\frac{dy}{dx}\right)=-y^2\left[sen \left(x\right)\right]+2y \cos \left(x\right) \frac{dy}{dx}$

Ahora se procede a organizar la expresión, dejando de un lado del igual todos los términos dy/dx.

$\cos (x+y)+y^2\left[sen \left(x\right)\right]=2y \cos \left(x\right) \left(\frac{dy}{dx}\right)-\cos (x+y)\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Simplificamos resolviendo el factor común de la ecuación.

$\cos (x+y)+y^2\left[sen \left(x\right)\right]=\left[2y \cos \left(x\right) -\cos (x+y)\right]\left(\frac{dy}{dx}\right)$

Para terminar el ejercicio se despeja en términos del factor dy/dx.

$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos (x+y)+y^{2}sen \left(x\right)}{2y \cos \left(x\right) -\cos (x+y)}$

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