Máximos y Mínimos: Ejercicio 1

Algunos de las aplicaciones más importante del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se requiere encontrar un valor óptimo para hacer algo, dichos valores hacen referencia a los valores máximos o mínimos que pueden tomar la función.

En la siguiente gráfica se puede denotar que existe un punto mínimo en la coordenada (0, 2) y no existe un punto máximo puesto que la función se extiende indefinidamente hasta el infinito del eje y positivo.

Grafica de la función: y=x2+2

En el presente articulo se aprenderá encontrar los valores máximos y mínimos de manera analítica haciendo uso de las derivadas, para eso se analizara la siguiente función.

f(x)=-12x4+4x2

El primer paso para encontrar los valores máximos o mínimos de una función es encontrando su primera derivada.

f´(x)=-124x3+42xf´(x)=-2x3+8x

Luego de haber encontrado la primera derivada, se iguala a cero (0) para encontrar los puntos críticos.

0=-2x3+8x

Se resuelve la ecuación

0=2x(-x2+4)0=-x2+4x2=4x=±4x1=+2x2=-2

Se prosigue por evaluar los puntos críticos encontrados en la función original

x1=2     y1=8x2=-2     y2=8

Se puede denotar que se encuentra el mismo valor en el eje vertical, por lo que se puede deducir que el valor critico es 8.

Ahora se debe evaluar si el valor encontrado corresponde a un valor critico máximo o mínimo, para eso se procede a realizar la segunda derivada de la función.

f''(x)=-2(3)(x)2+8f''(x)=-6x2+8

Después de haber encontrado la segunda derivada, reemplazamos el valor critico en la segunda derivación.

f''(x) =-6(2)2+8f''x =-16 

Como el valor encontrado es negativo, el valor critico hace referencia a un punto máximo. 

PLANES Y PRECIOS

 

Reto: Te invitamos a graficar la función y demostrar los puntos críticos que se acaban de encontrar.

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